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Hundermal probiert - nie Erfolg gehabt?
Auf X, ehemals Twitter, las ich neulich: «Wenn man dir erklärt, deine Aussichten, Erfolg zu haben, stehen bloss 1 zu 100, dann gib nicht auf. Versuch es einfach hundertmal! »
"Aha!" dachte ich, "da hat wohl wieder einmal jemand die Sache mit der Wahrscheinlichkeit nicht so ganz durchschaut und hat sich gedacht: eine Chance von 1 zu 100 zu haben, bedeutet, dass unter 100 Versuchen wenigstens einer den gewünschten Ausgang haben muss."
Doch so einfach ist das nicht. Das Universum sitzt nicht da und zählt mit, wie oft man schon versucht hat, etwas zu erreichen, und schenkt einem den Erfolg, sobald man eine bestimmte Anzahl Wiederholungen erreicht hat.
Die mathematische Wahrscheinlichkeit, dass man bei n Versuchen mit jeweils einer Erfolgsaussicht von p mindestens einmal Erfolg haben wird, berechnet sich nach der Formel 1 - (1-p)^n. Wenn man, wie der Spruch anzunehmen scheint, bei 100 Versuchen mindestens einmal Erfolg haben sollte, müsste (1-p)^n gleich Null sein, aber das wäre nur der Fall, wenn p gleich 1 wäre, doch p ist in unserem Fall nicht 1, sondern 0.01 (ein Hundertstel).
Schauen wir uns das alles einmal genauer an: Eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu 100 lässt sich veranschaulichen als ein Gefäss, in dem sich 100 Kugeln befinden, von denen eine weiss und alle übrigen schwarz sind. Greifen wir in das Gefäss und nehmen eine heraus, dann wird diese vermutlich schwarz sein, denn es hat ja viel mehr schwarze (99) als weisse (1) Kugeln im Gefäss.
Wenn wir nun sehr oft in das Gefäss greifen und eine Kugel herausnehmen - wobei wir sie vor jedem neuen Versuch wieder zurücklegen müssen - dann dürfen wir davon ausgehen, dass wir im Durchschnitt bei 100 Versuchen einmal die weisse Kugel gezogen haben. Die Betonung liegt auf Durchschnitt. Wer sagt uns denn, dass wir die weisse Kugel schon unter den ersten 100 Versuchen in die Hand bekommen und nicht erst beim 101. oder 102. oder 110. Versuch? Und vor allem, wer garantiert uns, dass es unmöglich ist, hundertmal hintereinander eine Niete zu ziehen?
Diese Frage bringt uns nun auf die richtige Spur: Wenn wir bei 100 Versuchen mindestens einmal Erfolg haben müssen, dann kann die Wahrscheinlichkeit, dass wir nie Erfolg haben werden, nur Null sein. Und das werden wir jetzt nachrechnen.
Betrachten wir zuerst einen sehr einfachen Fall: Wir haben zwei Kugeln, eine schwarz und eine weiss. Nach der Logik des Spruchs, müssten wir bei einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 2 bei zwei Versuchen einmal Erfolg haben. Doch das ist klarerweise nicht der Fall. Es gibt insgesamt vier Möglichkeiten, wie zwei Versuche ausgehen können, nämlich: schwarz - schwarz, schwarz - weiss, weiss - schwarz und weiss - weiss. Der Fall, dass wir keine weisse Kugel ziehen ist also möglich. Seine Wahrscheinlichkeit ist 1 zu 4 (25%). Der umgekehrte Fall, nämlich mindestens eine weisse Kugel, liegt in drei von vier möglichen Ziehungen vor, die Wahrscheinlichkeit beträgt also 75%, aber keine 100%
Die Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis E unter n Versuchen immer eintritt, lautet p(E)^n, wobei p(E), das heisst: die Wahrscheinlickeit, dass E bei einem einzelnen Versuch eintreten wird, als Zahl zwischen 0 und 1 anzugeben ist. Ist p(E) gleich 0.99 (99%), dann erhalten wir, wenn wir n mit 100 ansetzen, 0.99^100 ≈ 0.36603 (36.6%). Das ist beileibe nicht Null! Und damit sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei hundert Versuchen mindestens einmal Erfolg haben werden auf unter zwei Drittel, nämlich auf 63.4%
Ja, so sieht es also aus:
Hast du eine Chance von 1 zu 100, dann wirst du bei 100 Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit von 63.4% wenigstens einmal den gewünschen Erfolg haben. Um den Erfolg seiner Sicherheit von 99% zu erreichen, müsstest du es deutlich mehr mehr als hundertmal versuchen, ungefähr 480 Mal.
Nachbemerkung: Interessant ist, dass sich die Erfolgswahrscheinlickeit nur unwesentlich ändert, wenn wir bei einer Erfolgswahrscheinlickeit von 1 Promille (0.1%, 0.001) tausend Versuche wagen. In diesem Fall beträgt sie 1-0.999^1000 ≈ 1-0.3677 = 0.6323 (63.2%). Für noch zahlreichere Versuche bei noch kleineren Wahrscheinlickeiten konvergiert die Aussicht auf wenigstens einen Erfolgt bei 1-1/e ≈ 0.63212